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$('#eingabewert').keydown( function(e)
{
    if(e.keyCode == 13)
    {
        alert('Enter-Taste gedrückt');
        do_ajax_call();
    }
});

// deine Funktion für den Ajax call
function do_ajax_call()
{
    var inputvalue = $('#eingabewert').val();
    var extradata = "Whatsoever, your choice";

    $.ajax({
        url: '/ziel', // modifizieren
        type: 'post',
        data: { value_in: inputvalue, someid: extradata },
        success: function(data)
        {
            console.log(cookiedata);
            if(data=='success')
         {
        // do your stuff
            }
        },
        error:function()
        {
            console.log('server problem');
        }
    });
};
<input type="text" id="eingabewert" value="" placeholder="klick hier enter" autofocus>