JSFiddle - React, Tailwind, and code Playground

HTML

<form name="form_invitaciones" id="form_invitaciones" action="" method="post">
        <input type="hidden" name="cols" id="cols" value="1">
        <fieldset>
            <table width="100%" id="tabla_empresas">
                <thead>
                    <tr>
                        <th width="2%">&nbsp;</th>
                        <th width="15%">Nombre</th>
                        <th width="15%">Apellidos</th>
                        <th width="10%">RUT</th>
                        <th width="15%">Email</th>
                        <th width="15%"></th>
                    </tr>
                </thead>
                <tbody>
                    <tr>
                        <td class="number-row">1</td>
                        <td>
                            <input name="usuario[nombre][]" type="text" required="required" value="" size="20" />
                        </td>
                        <td>
                            <input name="usuario[apellidos][]" type="text" required="required" class="texto" value="" size="20" />
                        </td>
                        <td>
                            <input name="usuario[rut][]" type="text" required="required" class="texto rut" value="" size="20" />
                        </td>
                        <td>
                            <input name="usuario[email][]" type="email" required="required" class="texto" value="" size="30" />
                        </td>
                        <td>
                            <a href="#" class="addnew">Agregar</a>
                        </td>
                    </tr>
                </tbody>
            </table>
        </fieldset>
    </form>

JavaScript

$(document).ready(function() {
    var numero_fila = parseInt($('#cols').val());

    $('.addnew').click(function(e) {
        e.preventDefault();

        var $row = $('tr:last').clone();

        $row.find('input').val('');
        $row.find('.addnew').removeClass('addnew').addClass('remove').html('Remover');

        numero_fila += 1;

        if(numero_fila > 10) {
            alert('Lo sentimos solo puede enviar un maximo de 10 invitaciones simultaneas.');
            return false;
        }

        $('#cols').val(numero_fila);

        $row.find('.number-row').html(numero_fila);

        $row.appendTo('tbody:last');

        console.log('add: ' + numero_fila);

        $('.remove').on('click', function(e) {
            e.preventDefault();
            numero_fila -= 1;
            $('#cols').val(numero_fila);
            $(this).parent().parent().remove();
        });

    });

    function renumber() {
        $.each($('.number-row'), function(index, value) {
            $(value).html(index + 1);
            console.log('reorder');
        });
    }
});