JSFiddle - React, Tailwind, and code Playground

HTML

<script src="//code.jquery.com/jquery-1.12.4.js"></script>
  <script src="//code.jquery.com/ui/1.12.1/jquery-ui.js"></script> 
  <link rel="stylesheet" href="//code.jquery.com/ui/1.12.1/themes/smoothness/jquery-ui.css">

  <p><input type="radio" onclick="search_by();" id="nom" name="search_by" value="nom">Nom</p>
  <p><input type="radio" onclick="search_by();" id="ville" name="search_by" value="ville" checked>Ville</p>

<form method="POST">
<input type="text" id="txtAllowSearch" class="selector" name="label">
<input type="hidden" id="txtAllowSearchID" name="id">
<input type="submit" value="envoyer">
</form>

<!-- et le fichier source.php -->
$term = $_GET['term'];
$search_term = $_GET['search_term'];

$requete = $bdd->prepare('SELECT * FROM clients WHERE '.$search_term.' LIKE :term'); // j'effectue ma requête SQL grâce au mot-clé LIKE

$requete->execute(array('term' => '%'.$term.'%'));


$array = array(); // on créé le tableau


while($donnee = $requete->fetch()) // on effectue une boucle pour obtenir les données

{
	//on charge le nom de l'entreprise ou du client
		if(!empty($donnee['nom'])){$nom = $donnee['nom'];
			}else{
				$nom = $donnee['entreprise'];
			}

		$add = array('label' => $donnee['ville'] . ' - ' . $nom ,'id' => $donnee['id']) ;
    array_push($array, $add); // et on ajoute celles-ci à notre tableau

}


echo json_encode($array), "\n";

JavaScript

var valeur = document.querySelector('input[name="search_by"]:checked').value;

function search_by(){
valeur = document.querySelector('input[name="search_by"]:checked').value; 
alert('selection : '+valeur)
}
alert('selection : '+valeur)

$('.selector').autocomplete({
  delay:100, //delais en milisecondes
  minLength: 2, //longueur minimum du texte
    source: './source.php?search_term='+valeur,
    select: function (event, ui) {
      event.preventDefault()
        $("#txtAllowSearch").val(ui.item.label); // display the selected text
        $("#txtAllowSearchID").val(ui.item.id); // save selected id to hidden input
    }
});