JSFiddle - React, Tailwind, and code Playground

HTML

<div class="search">Поиск работы в городе <a href="#">Москва</a></div>
<ul class="city_select_list">
	<li><a href="#" data-big="Киров" title="Москва">Москва</a></li>
	<li><a href="#" data-big="Киров" title="Санкт-Петербург">Санкт-Петербург</a></li> 
	<li><a href="#" data-big="Киров" title="Дальний Восток">Дальний Восток</a></li>
	<li><a href="#" data-big="Киров" title="Балаково">Балаково</a></li>
	<li><a href="#" data-big="Киров" title="Барнаул">Барнаул</a></li>
	<li><a href="#" data-big="Киров" title="Белгород">Белгород</a></li>
</ul>

JavaScript

// Записываем объекты в переменные
var $listPoints = $('.city_select_list').find('a');
var $search     = $('.search');

$listPoints.on('click', function() {
    // Сохраняем выбранную дату в переменную, возможно нужны будут манипуляции
    var newData = $(this).data('big');
    // Добавляем title="Киров"
    $search
        .find('a')
        .attr('title', newData);
     // Добавляем для наглядности в документ 
     // Можно удалить
    $search.find('a').html(newData)
});