JSFiddle - React, Tailwind, and code Playground

HTML

<ul>
    <li>li</li>
    <li id="buscaBT">Clique aqui
        <div class="formularioBusca">Formulário busca</div>
    </li>
    <li>li</li>
</ul>

CSS

.formularioBusca {
    display: none;
}

JavaScript

$("#buscaBT").click(function () {
    //$('.formularioBusca').css('display', 'block');
    // ou pode também usar assim:
    $('.formularioBusca').slideDown();
    
});
$('.formularioBusca').on('mouseleave', function () {
    // this.style.display = 'none'; 
    $(this).slideUp();
});